橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計

　　作為一名教職工，就不得不需要編寫教學(xué)設(shè)計，教學(xué)設(shè)計要遵循教學(xué)過程的基本規(guī)律，選擇教學(xué)目標(biāo)，以解決教什么的問題。那要怎么寫好教學(xué)設(shè)計呢？下面是小編整理的橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計，希望能夠幫助到大家。

　　一、教學(xué)內(nèi)容解析

　　1．地位與作用：

　　本章是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線與方程》，是高中數(shù)學(xué)解析幾何的第二大部分。解析幾何是數(shù)學(xué)中一個重要的分支，它聯(lián)系了數(shù)學(xué)中的數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對象之間的聯(lián)系。在北師大版必修2中，學(xué)生已掌握了在平面直角坐標(biāo)系下研究直線和圓的方法，本章教材進(jìn)一步利用三種基本圓錐曲線深化代數(shù)與幾何的關(guān)系。本章教材內(nèi)容的順序是：橢圓→拋物線→雙曲線→曲線與方程。這樣安排的用意是，先學(xué)圓錐曲線，再學(xué)曲線與方程，這樣的順序更有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)，符合學(xué)生從特殊到一般，具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律。在圓錐曲線的學(xué)習(xí)過程中，不斷的滲透曲線與方程的思想，為學(xué)生理解并掌握“曲線與方程”這一概念奠定了基礎(chǔ)。

　　本節(jié)是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線與方程》第1節(jié)的內(nèi)容，主要學(xué)習(xí)橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的應(yīng)用，分為兩課時，本節(jié)課是第1課時，主要學(xué)習(xí)橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。教材以橢圓為基礎(chǔ)和重點說明了求方程并利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法，然后在認(rèn)知拋物線和雙曲線中得到了鞏固和應(yīng)用，因此《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》這一節(jié)課起到了承上啟下的作用。

　　2．教材處理順序

　　教材在橢圓的定義這個內(nèi)容的安排上是：先從直觀上認(rèn)識橢圓，再從畫法中提煉出橢圓的幾何特征，由此抽象概括出橢圓的定義，最后是橢圓定義的簡單應(yīng)用。這樣的安排不僅體現(xiàn)出《課程標(biāo)準(zhǔn)》中要求通過豐富的實例展開教學(xué)的理念，而且符合學(xué)生從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)和理解。教材在本節(jié)內(nèi)容中只研究了中心在原點，焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，讓學(xué)生自己去歸納焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。這樣的處理給學(xué)生提供了一次探究和交流的機會。有利于學(xué)生對拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，有利于學(xué)生思維能力的提高和學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)。

　　3．?dāng)?shù)學(xué)思想方法

　　本節(jié)內(nèi)容蘊含了：數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想等。在推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程過程中讓學(xué)生體會移項再平方去根號的方法。

　　二、教學(xué)目標(biāo)和重難點

　　1．教學(xué)目標(biāo)

　�。�1）知識與技能目標(biāo)：

　　①理解橢圓的定義；

　�、谡莆盏臋E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

　�。�2）過程與方法目標(biāo)：

　�、僭跈E圓定義的獲知和歸納中，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法；

　�、谕ㄟ^橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，鞏固用坐標(biāo)化的方法求動點的軌跡方程，同時體會含有兩個根式的化簡思路。

　�。�3）情感、態(tài)度和價值觀：

　�、偻ㄟ^橢圓定義的歸納，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，認(rèn)識規(guī)律并利用規(guī)律解決實際問題的能力；

　�、谕ㄟ^師生、生生合作學(xué)習(xí)，增強學(xué)生團(tuán)隊協(xié)作能力，增強主動與他人合作交流的意識。

　　2．教學(xué)重點

　�。�1）掌握橢圓的定義與相關(guān)概念；

　�。�2）掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

　　3．教學(xué)難點

　　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

　　三、學(xué)情分析

　　1．學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)

　　授課班級學(xué)生為高二年級學(xué)生。

　　橢圓是圓錐曲線中基礎(chǔ)且重要的一種圖形，在實際生活中經(jīng)常遇到。學(xué)生在高一對解析幾何有了初步的了解和認(rèn)識，對于在平面直角坐標(biāo)系下的點坐標(biāo)及長度公式已掌握，具有一定的空間想象能力、抽象概括能力和推理運算的技能，有較好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和方法。

　　2．學(xué)生存在的難點

　　學(xué)生在涉及到需要自己建立坐標(biāo)系，再研究推導(dǎo)出方程仍是一個難點。且之前未接觸過一個式子中含兩個根式相加的情況，故化簡是個問題。

　　3．突破策略

　　由教師引領(lǐng)學(xué)生觀察所繪出的橢圓的特點，定點位置，從而建立合適的直角坐標(biāo)系。

　　四、教學(xué)策略分析

　　1．內(nèi)容突破策略

　　本節(jié)課新知內(nèi)容分兩大板塊：

　　一是總結(jié)概括出橢圓的定義；

　　二是推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

　　針對第一板塊內(nèi)容，主要采取學(xué)生先動手畫橢圓，在實踐的過程中發(fā)現(xiàn)一些固定不變的量和量與量之間存在的關(guān)系，從而總結(jié)出橢圓的定義，并且深刻領(lǐng)悟定義中所說的一些特別要求。針對第二板塊內(nèi)容，主要是采取教師引導(dǎo)，學(xué)生動手，通過一般的求動點軌跡的方法推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

　　2．啟迪學(xué)生思維策略：

　　在教學(xué)方法的選擇上，采用教師組織引導(dǎo)，學(xué)生動手實踐、自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式，力求體現(xiàn)教師的引導(dǎo)者、合作者的作用，突出學(xué)生的主體地位。

　　五、教學(xué)過程

　　教學(xué)過程

　　設(shè)計意圖

　　一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課

　　1．讓學(xué)生觀察幾張典型圖片和行星在太陽系中的運動軌跡，由此看出一個共同的數(shù)學(xué)圖形“橢圓”。

　　2．大家還能舉出生活中你所遇到的橢圓嗎？

　　3．用多媒體演示一個嫦娥三號運行橢圓形軌道的例子。

　　4．使學(xué)生對橢圓有一個感性認(rèn)識，明白生活實踐中有許多數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)來源于實踐，同時培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去觀察周圍事物的能力。

　　5．通過提問激發(fā)學(xué)生課堂上的學(xué)習(xí)興趣。

　　二、橢圓的定義（分四個環(huán)節(jié)）

　　1．畫一畫（畫橢圓）

　　①將一條繩子的兩端固定在同一個定點上，用筆尖勾起繩子的中點使繩子繃緊，圍繞定點旋轉(zhuǎn)，筆尖形成的軌跡是什么？

　�。ㄓ蓪W(xué)生動手在黑板上進(jìn)行演示，提高學(xué)生的動手能力，同時激起學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的興趣）

　　②而將繩子的兩端分別固定在兩個定點上，筆尖勾直繩子，移動筆尖，得到的是軌跡是什么？

　�。ń處熖釂枺�讓學(xué)生動手，拿出提前準(zhǔn)備好的毛線，兩組同學(xué)上黑板畫，其他同學(xué)同桌合作在練習(xí)本上畫）

　　動畫演示作圖過程

　　2．認(rèn)一認(rèn)（實驗總結(jié)）

　　提出問題：①作圖過程中，哪些量沒有變？哪些量變了？

　　提出問題：②為什么要求作圖過程中筆尖要繃緊？

　　提出問題：③筆尖所對應(yīng)的動點M到定點的距離有什么長度之間的關(guān)系？

　　總結(jié)：筆尖對應(yīng)的動點M到直線兩個端點的長度之和固定不變。

　　3．說一說（總結(jié)定義）

　　提出問題：根據(jù)剛才動手實踐的過程，能否總結(jié)橢圓的定義？（同學(xué)自由發(fā)言，再由學(xué)生進(jìn)一步補充完善）

　　我們把平面內(nèi)到兩個定點，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的集合叫作橢圓。

　　問題1：定義中的常數(shù)等于，則動點的軌跡是什么？

　　問題2：定義中的常數(shù)小于，則動點的軌跡是什么？

　　4．橢圓相關(guān)概念：兩個定點，叫作橢圓的焦點，兩個焦點，間的距離叫作橢圓的焦距。

　　1）給學(xué)生提供一個動手、動腦的學(xué)習(xí)機會；

　　2）學(xué)生可通過動手實踐的過程去體會“滿足什么樣的條件下的點的集合為橢圓”，從而對橢圓定義中的條件有直觀深刻的認(rèn)識。

　　3）通過三個問題的設(shè)置，為學(xué)生從畫法中發(fā)現(xiàn)拋物線的幾何特征奠定基礎(chǔ)。

　　4）通過三個典型的問題，讓學(xué)生更深刻地理解橢圓的定義。

　　5）使學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質(zhì)的認(rèn)識，并逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)。

　　三、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

　　1．求一求（推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）

　　問題3：回顧圓的軌跡方程是如何求的？

　�、俳ㄏ担�

　�、谠O(shè)點：

　�、哿惺剑�

　�、芑�簡：

　　問題4：以怎樣的建系方式，哪一種針對求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較好？

　�。ㄑa充說明：橢圓具有一定的對稱美，故所求的式子最好簡潔工整）

　　動手演算：讓學(xué)生動手，求推導(dǎo)焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

　�、俳ㄏ担河^察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡潔？（利用橢圓的對稱性特征）

　　以直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

　�、谠O(shè)點：設(shè)焦距為，則．設(shè)為橢圓上任意一點，點與點的距離之和為．

　　③列式：動點滿足的幾何約束條件：

　　坐標(biāo)化為：

　　④化簡：化簡橢圓方程是本節(jié)課的難點，突破難點的方法是引導(dǎo)學(xué)生思考如何去根號

　　預(yù)案一：移項后兩次平方法

　　兩邊同時平方、整理得：

　　將上式兩邊平方、整理得：

　　分析的幾何含義，令得到焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.....

　　預(yù)案二：

　　用等差數(shù)列法：

　　設(shè)

　　得4cx=4at，即t=

　　將t=代入式得③

　　將③式兩邊平方得出結(jié)論。以下同預(yù)案一

　　預(yù)案三：三角換元法：

　　設(shè)

　　得

　　即即

　　代入式得

　　以下同預(yù)案一

　　2．問一問

　　問題5：焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

　�。ㄓ蓪W(xué)生動手列式，，引導(dǎo)學(xué)生觀察焦點在軸上與焦點在軸上式子的差異，從而用類比的方法得到焦點在軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）

　　如果橢圓的焦點在軸上，其焦點坐標(biāo)為，，用同樣的方法可以推出它的標(biāo)準(zhǔn)方程

　　問題6：如何用幾何圖形解釋？，，在橢圓中分別表示哪些線段的長？

　　1．讓學(xué)生由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，類比的推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

　　2．橢圓方程不止一種，建立的坐標(biāo)系不同，橢圓方程的表達(dá)形式也不同，在高中階段只掌握焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

　　3．進(jìn)一步熟悉用坐標(biāo)法求動點軌跡方程的方法，掌握化簡含根號等式的方法，提高運算能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神，感受數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美。

　　4．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想的靈活應(yīng)用，進(jìn)一步深化鞏固數(shù)學(xué)思想方法。做好準(zhǔn)備，以備個別學(xué)生想到此種方法。

　　四、課堂探究

　　探究一：判斷分別滿足下列條件的動點的軌跡是否為橢圓

　　（1）到點和點的距離之和為6的點的軌跡；（是）

　　（2）到點和點的距離之和為4的點的軌跡；（不是）

　�。�3）到點和點的距離之和為3的點的軌跡；（不是）

　�。�4）。已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，請?zhí)羁眨篴=_____，b=_____，c=_____，焦點坐標(biāo)為_________________，焦距等于_________。

　　探究二：判定下列橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在哪個軸上，并寫出焦點的坐標(biāo)

　　（1）；（在軸上，焦點為，）

　�。�2）；（在軸上，焦點為，）

　�。�3）；（在軸上，焦點為，）

　　1．鞏固橢圓的定義

　　2．通過本題的練習(xí)，使學(xué)生能加深橢圓的焦距與標(biāo)準(zhǔn)方程之間關(guān)系的理解，同時會求標(biāo)準(zhǔn)方程的基本量，教學(xué)時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生逐層深入，養(yǎng)成求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程先看焦點位置的良好習(xí)慣。

　　五、課堂小結(jié)

　　問題：這節(jié)課你學(xué)到了什么？請談?wù)勀愕氖斋@。

　　1．知識內(nèi)容收獲：一個定義（橢圓的定義）；兩個方程（橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程）；及橢圓中之間的關(guān)系。

　　2．學(xué)習(xí)過程收獲：

　�、凫柟塘藙狱c的軌跡方程的求法；

　�、谕ㄟ^推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，學(xué)會了兩個根式相加的式子的化簡方法，同時提高了自己的運算能力。

　　3．?dāng)?shù)學(xué)思想和方法：數(shù)形結(jié)合思想；轉(zhuǎn)化化歸思想；分類討論思想。

　　目的：培養(yǎng)學(xué)生的概括總結(jié)能力。

　　六、課后鞏固練習(xí)

　　1．課后思考：當(dāng)把橢圓的兩個焦點合二為一了后，得到的圖形是什么？你能總結(jié)出什么樣的規(guī)律？

　　2．書面作業(yè)：課本練習(xí)2：1，2，3是對本節(jié)課新知內(nèi)容及學(xué)習(xí)方法的鞏固，同時啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生更有興趣繼續(xù)研究橢圓。

　　七、板書設(shè)計

　　橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

　�。ㄒ唬�、畫橢圓

　�。ǘ�）、定義：

　　注明：

　�、偃�，則點的軌跡不存在；

　�、谌�，則軌跡為線段

　　三、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

　　焦點在軸上時，

　　焦點在軸上時，

　　八、設(shè)計感想

　　上本節(jié)課前本人閱讀了大量圓錐曲線的知識，對各種不同的橢圓定義引題進(jìn)行了分析比較，通過各位同事耐心的指導(dǎo)和多次的討論，最終采用了以現(xiàn)實生活中橢圓的應(yīng)用引入，充分展現(xiàn)了知識的形成過程，有利于學(xué)生自主探究與創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。但在設(shè)計過程仍遇到很多我無法解決的問題，比如如何將圓錐曲線背景知識融入到課堂；如何用幾何畫板將紙張的翻折更形象的演示等等。如何加以改進(jìn)，這是在后續(xù)教學(xué)中需要思考的問題。這也反映了我在新課程面前的不足，認(rèn)識到教師自身專業(yè)發(fā)展與能力提高的重要性與緊迫感；認(rèn)識到新課程下的教師不再是靜態(tài)的蠟燭、明燈抑或是航標(biāo)，而是一名充滿激情的主持人，一名銳意進(jìn)取的先行者這樣一個角色的轉(zhuǎn)換；認(rèn)識到新課改的成功要從我做起，從現(xiàn)在做起！

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