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    “數(shù)學(xué)歸納法”教學(xué)反思

    時(shí)間:2024-06-24 19:19:03 教學(xué)反思 我要投稿
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    “數(shù)學(xué)歸納法”教學(xué)反思

      身為一名到崗不久的人民教師,課堂教學(xué)是重要的任務(wù)之一,在寫(xiě)教學(xué)反思的時(shí)候可以反思自己的教學(xué)失誤,那么大家知道正規(guī)的教學(xué)反思怎么寫(xiě)嗎?以下是小編為大家整理的“數(shù)學(xué)歸納法”教學(xué)反思,僅供參考,歡迎大家閱讀。

    “數(shù)學(xué)歸納法”教學(xué)反思

    “數(shù)學(xué)歸納法”教學(xué)反思1

      數(shù)學(xué)

      內(nèi)容簡(jiǎn)介

      對(duì)于由不完全歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)自然數(shù)的數(shù)學(xué)命題我們常采用下面的方法來(lái)證明它們的正確性:

     。1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1)時(shí)命題成立;【歸納奠基】

     。2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥ n0,k∈N*)時(shí)命題成立

      證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。 【歸納遞推】

      這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法

      本次課是從歸納推理的基礎(chǔ)上及不完全歸納法得到的結(jié)論不一定可靠引出的。數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法.它的操作步驟簡(jiǎn)單、明確,教學(xué)重點(diǎn)借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想;掌握數(shù)學(xué)歸納法證題步驟,尤其是遞推步驟中歸納假設(shè)和恒等變換的運(yùn)用。教學(xué)難點(diǎn):學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì),具體表現(xiàn)在不了解第二個(gè)步驟的作用,不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明;運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí),在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問(wèn)題的遞推關(guān)系。

      在教學(xué)時(shí),上課整體思路不錯(cuò),通過(guò)多次播放“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)游戲”讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法的基本思想即重點(diǎn)突出。由于時(shí)間關(guān)系,有點(diǎn)趕,對(duì)于某些細(xì)節(jié)強(qiáng)調(diào)不到位。在仿照“多米諾骨牌”的原理來(lái)驗(yàn)證問(wèn)題2中對(duì)于通項(xiàng)公式的`猜想中,傳遞性沒(méi)有強(qiáng)調(diào)到位(前者成立能保證后者成立)即成立導(dǎo)致成立,成立導(dǎo)致成立…可以驗(yàn)證所有的正整數(shù)都成立(沒(méi)有強(qiáng)調(diào)指出如何保證一一驗(yàn)證)。

      在教學(xué)方法上,運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法.加強(qiáng)學(xué)生對(duì)教學(xué)過(guò)程的參與.為了使這種參與有一定的智能度,教師應(yīng)做好發(fā)動(dòng)、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥.學(xué)生的思維參與往往是從問(wèn)題開(kāi)始的,本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問(wèn)題,讓學(xué)生投入到思維活動(dòng)中來(lái),把本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容置于問(wèn)題之中,在逐漸展開(kāi)中,引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識(shí)、方法予以解決,并獲得知識(shí)體系的更新與拓展.

      運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,兩個(gè)步驟缺一不可.在教學(xué)中,難點(diǎn)不夠突出:理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想,尤其要注意其中第二步,證明n=k+1命題成立時(shí)必須要用到n=k時(shí)命題成立這個(gè)條件.在講解例1中,如何運(yùn)用假設(shè)遞推講解得不夠明顯,應(yīng)該先找出式子左右兩邊的變化情況,看看左邊多了幾項(xiàng),再找出右邊的目標(biāo)表達(dá)式。這樣證明n=k+1命題成立時(shí)就清楚為什么要用到n=k時(shí)命題成立這個(gè)條件以及如何達(dá)到目的。當(dāng)然這些問(wèn)題也只有等下節(jié)課再次強(qiáng)調(diào)。

    “數(shù)學(xué)歸納法”教學(xué)反思2

      在聽(tīng)課前,認(rèn)真拜讀了章建躍老師的文章《追求數(shù)學(xué)課堂的本來(lái)面目》,通過(guò)兩位教師的課堂實(shí)踐,筆者對(duì)章老師談到的教學(xué)立意問(wèn)題中“始終要把數(shù)學(xué)教學(xué)的‘育人’目標(biāo)放在心上”觀點(diǎn)很受啟發(fā),對(duì)“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”有進(jìn)一步的實(shí)踐認(rèn)識(shí),同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)也有了更深刻的理解。

      數(shù)學(xué)歸納法是一種用于與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明方法,由n的無(wú)窮盡特性,成為數(shù)學(xué)歸納法這一方法探尋的源動(dòng)力。正整數(shù)命題的數(shù)學(xué)歸納法證明步驟中只證明了兩個(gè)命題:命題1:p(1)為真;命題2:若p(k)為真,則p(k+1)為真。命題p(k)和命題p(k+1)之間的邏輯關(guān)系和依存關(guān)系使得推理得以持續(xù)進(jìn)行,即由命題1正確推得命題2也正確,由命題2正確推得命題3也正確,……,實(shí)現(xiàn)無(wú)窮三段論的循環(huán)論證。因此,用有限的步驟論證無(wú)限結(jié)論是數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)本質(zhì)特征。

      學(xué)生對(duì)于歸納假設(shè)常常會(huì)感到疑惑不解:要證明某個(gè)命題正確,怎么可假以設(shè)這個(gè)命題正確呢?命題p(k)與命題p(n)有何關(guān)系?假設(shè)命題p(k)正確在證明過(guò)程中起什么作用?理解這些問(wèn)題,也就理解了數(shù)學(xué)歸納法的思想內(nèi)涵:數(shù)學(xué)歸納法要證明的命題p(n)是一個(gè)命題序列,其中p(k)與p(k+1)是該命題序列中的兩個(gè)連續(xù)命題。為了證明這個(gè)命題序列整體的正確性,我們首先得證明p(1)為真(是歸納奠基);在歸納遞推過(guò)程中k是一個(gè)變動(dòng)的量,假設(shè)命題p(k)為真是遞推證明的條件,由p(k)為真推出p(k+1)為真,表明前一個(gè)命題為真必可推出它的后繼命題也為真。由于有了第一步的奠基驗(yàn)證,歸納假設(shè)是有依據(jù)的,因此我們所要證的命題序列中,可由歸納遞推p(1)→p(2),p(2)→p(3),…,p(k)→p(k+1),…。根據(jù)歸納公理證明了{(lán)p(1),p(2):…,p(n),…}中命題都是正確,即對(duì)任意正整數(shù)n,命題都成立?梢哉f(shuō),歸納假設(shè)是遞推的接力棒,沒(méi)有歸納假設(shè),遞推就無(wú)法進(jìn)行。通過(guò)上述問(wèn)題的解決過(guò)程不難發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)歸納法的核心思想是歸納遞推思想。

      數(shù)學(xué)歸納法雖不是歸納法(是一種嚴(yán)格的演繹推理證明方法),但是在數(shù)學(xué)歸納法的思維模式中還是能找到歸納法的一些影子的:事先通過(guò)大量個(gè)別事實(shí)的觀察,通過(guò)歸納概括出一般性的結(jié)論,然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明解決問(wèn)題,即歸納結(jié)論推理證明兩個(gè)邏輯段。其完整過(guò)程如圖1所示。因此數(shù)學(xué)歸納法為我們提供了一種數(shù)學(xué)的思維方法:“觀察——?dú)w納——猜想——證明”,這種思維模式的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生理性思維的有效載體,它本身就是一種素質(zhì)教育。作為概念起始課,在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)它的思維作用,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法的思維方式去思考問(wèn)題,而不是過(guò)分強(qiáng)調(diào)它的證題格式、證題技巧.

      影響課堂教學(xué)成功與否最根本的因素是學(xué)生的學(xué),由于學(xué)生與教師在認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)識(shí)方式以及對(duì)概念的同化能力上存在著很大的差異的,教師的教學(xué)設(shè)計(jì)立意再高,過(guò)程設(shè)計(jì)得再生動(dòng)形象,而如果學(xué)生最終無(wú)法得到內(nèi)化,那么教學(xué)還是大打折扣的。因此教師在開(kāi)展教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),必須要進(jìn)行換位思考,要站在學(xué)生的立場(chǎng),根據(jù)的學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、認(rèn)知心理以及認(rèn)知障礙來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)。

      由于年齡特征,高中學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的過(guò)程中往往會(huì)伴隨著一些叛逆心理與求異心理(類(lèi)似于好斗心理與標(biāo)新心理),他們會(huì)在課堂上提出一些在教師預(yù)設(shè)之外的問(wèn)題,甚至與教師“對(duì)著干”。學(xué)生的這些學(xué)習(xí)心理對(duì)教師開(kāi)展課堂教學(xué)來(lái)講是一把“雙刃劍”,把握不好,會(huì)使課堂推進(jìn)失控,迷失在學(xué)生無(wú)休止的“題”外爭(zhēng)論;把握得當(dāng),則會(huì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情與探求新知欲望。比如數(shù)學(xué)歸納法的常態(tài)課教學(xué)中,學(xué)生可能會(huì)提出:為什么要學(xué)數(shù)學(xué)歸納法(尤其是在數(shù)學(xué)歸納法證明要求已有所降低的情況下,能用數(shù)學(xué)歸納法解決的證明問(wèn)題也往往可以用演繹推理法證明)?明明不是歸納法,干嗎還要叫數(shù)學(xué)歸納法?假設(shè)的東西那能可信?

      學(xué)生偏不用數(shù)學(xué)歸納法而用倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列和累乘法來(lái)做,等等。教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),如若考慮不周或者不考慮到學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)的這些學(xué)習(xí)心理,將會(huì)使教師在課堂上處于尷尬的境地:如果教師回答了學(xué)生的問(wèn)題,將干擾學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法思想的體驗(yàn),導(dǎo)致教學(xué)目標(biāo)得不到實(shí)現(xiàn),甚至大大降低了數(shù)學(xué)歸納法的信度(上述涉及的問(wèn)題1、4)。如果置之不理,則會(huì)挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。但是有些問(wèn)題則是教師不可回避的,如上述提及的問(wèn)題3(問(wèn)題已經(jīng)觸及數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)內(nèi)涵),如果處理得當(dāng),將會(huì)使數(shù)學(xué)歸納法思想真正植根于學(xué)生的內(nèi)心。因此從學(xué)生學(xué)習(xí)心理角度對(duì)概念進(jìn)行深度剖析,做好預(yù)案機(jī)制,是教學(xué)預(yù)設(shè)達(dá)成的重要保障。

      學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法之前,有關(guān)正整數(shù)命題的問(wèn)題主要在數(shù)列的學(xué)習(xí)中接觸,由于間隔時(shí)間過(guò)長(zhǎng),數(shù)列學(xué)習(xí)中不完全歸納思想已經(jīng)深深印在學(xué)生內(nèi)心,他們對(duì)于由猜想產(chǎn)生的結(jié)論會(huì)不加懷疑,在這種認(rèn)識(shí)的作用下,學(xué)生會(huì)懷疑學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的必要性,導(dǎo)致在觀念上首先會(huì)排斥它。因此本節(jié)課的教學(xué)引入首先要解決的問(wèn)題是如何讓學(xué)生在認(rèn)知上形成沖突,對(duì)固有的知識(shí)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生懷疑,進(jìn)而形成對(duì)數(shù)學(xué)歸納法探求的迫切心理。

      在問(wèn)題1中學(xué)生經(jīng)歷“有限驗(yàn)證——猜想——錯(cuò)誤”的過(guò)程,打破了與原有認(rèn)知的平衡,意識(shí)到這種方式得出的結(jié)論具有不可靠性,由此形成這樣的認(rèn)識(shí):要確保猜想的結(jié)果真實(shí)性,必須要加以證明!但是學(xué)生常常會(huì)有這樣的思維習(xí)慣:這種利用遞推公式可由前一項(xiàng)推出后一項(xiàng)的求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法以前是屢試不爽,今天也不輕易放棄,但是又考慮到正整數(shù)n的無(wú)限性,這樣的驗(yàn)證會(huì)永無(wú)至盡!于是在學(xué)生的意識(shí)(或者潛意識(shí))中就會(huì)有“以有限證明替代無(wú)限論證”的想法,為自然引出數(shù)學(xué)歸納法作了鋪墊(體會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法是必要的)。

      教學(xué)中我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣一些情景:課堂上師生互動(dòng)熱烈,師生對(duì)話中學(xué)生對(duì)教師提出的問(wèn)題能作出正確的判斷,或者學(xué)生的課堂活動(dòng)完全在教師的預(yù)設(shè)中。這很容易給我們產(chǎn)生一些錯(cuò)覺(jué),以為學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容已經(jīng)掌握了,對(duì)概念中蘊(yùn)涵的`思想方法已有所體會(huì)了。其實(shí)這種對(duì)話、活動(dòng)往往集中在部分頭腦靈活、反應(yīng)較快的學(xué)生對(duì)教師預(yù)設(shè)的問(wèn)題的一種順應(yīng),他們的思維并非一定觸及概念的思想內(nèi)涵,還有一部分學(xué)生則是充當(dāng)聽(tīng)眾的角色。產(chǎn)生這種情況的原因主要在于教師在預(yù)設(shè)設(shè)時(shí),是憑自己對(duì)對(duì)概念的理解角度,沒(méi)有站在學(xué)生的角度開(kāi)展問(wèn)題診斷分析,或者已經(jīng)考慮到學(xué)生的理解困難,但是被假象所蒙蔽,高估學(xué)生的思維能力,或者高估學(xué)生深層推進(jìn)的自覺(jué)意識(shí),沒(méi)能將思維提升到一個(gè)高度讓學(xué)生去體驗(yàn)。

      “數(shù)學(xué)歸納法”是高中階段一個(gè)比較抽象的數(shù)學(xué)概念,學(xué)生對(duì)其中的證明步驟的掌握不會(huì)有困難,但是要理解概念以及概念背后的思想方法不是一件容易的事,尤其是對(duì)步驟2中的“假設(shè)”感到不解,對(duì)兩個(gè)步驟之后,結(jié)論就成立了感到困惑,對(duì)正整數(shù)k與n的關(guān)系琢磨不透,教學(xué)中教師決不能對(duì)這些問(wèn)題匆忙了事。

      教學(xué)中兩位教師在完成數(shù)學(xué)歸納法證明后,都沒(méi)有留給學(xué)生充分的時(shí)間感悟,教師乙在完成數(shù)學(xué)歸納法證明后急于歸納證明步驟,說(shuō)明兩個(gè)步驟的重要性;教師甲雖然在數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程中多次提到步驟2的傳遞性,似乎要讓學(xué)生體會(huì)遞推思想,但是學(xué)生在聽(tīng)覺(jué)干擾(教師過(guò)多的語(yǔ)言)和視覺(jué)干擾(投影儀、黑板等)下,往往只對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程形成順應(yīng),無(wú)暇體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想。事實(shí)上,受學(xué)生思維局限性的限制,以及數(shù)學(xué)歸納法本身的抽象性,學(xué)生是不可能對(duì)其中的數(shù)學(xué)思想自覺(jué)地進(jìn)行反思,這就需要教師進(jìn)行問(wèn)題引領(lǐng),比如在完成證明后教師可設(shè)計(jì)如下問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生:(1)完成兩個(gè)步驟后,能將有限個(gè)證明走向無(wú)限嗎?為什么?(2)如何體會(huì)“假設(shè)n=k時(shí)命題成立”?(3)你是如何理解k與n的關(guān)系的,正整數(shù)k起到怎樣的作用?給學(xué)生一個(gè) “悟”空間,讓學(xué)生自主觀察分析,抽象概括,自覺(jué)獲取這一方法的本質(zhì)和思想內(nèi)涵,波利亞曾指出“學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”!

      同為數(shù)學(xué)歸納法的起始課,兩為教師對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)有著不同的理解。

      觀察猜想→方法探求→體驗(yàn)思想→思想引領(lǐng),證明猜想→思想引領(lǐng),歸納方法→典例鞏固→概念辨析

      問(wèn)題引入→歸納猜想→演繹證明→方法梳理→典例鞏固→概念辨析

      從選擇的教學(xué)方法可以看出,兩為教師對(duì)本節(jié)課中如何滲透的遞推思想方法有不同的理解,從教師甲選擇的教學(xué)方式中不難看出教師有著這樣一種教學(xué)理解:數(shù)學(xué)歸納法本身就是一種數(shù)學(xué)思想方法,因此教學(xué)的一開(kāi)始就應(yīng)緊緊圍繞如何有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法思想方法的體會(huì)與理解,從理解思想方法的高度探尋數(shù)學(xué)歸納法這一有關(guān)正整數(shù)命題的推理方法。教師乙的教學(xué)理解可能是這樣:先讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法這種推理方法(形式化的步驟),通過(guò)辨析明確完整的數(shù)學(xué)歸納法過(guò)程,然后在后續(xù)的不等式證明中逐步體會(huì)歸納遞推思想。

      兩種教學(xué)方法選擇,代表了廣大教師對(duì)“數(shù)學(xué)歸納法”教學(xué)的兩種認(rèn)識(shí)。筆者認(rèn)為,數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)內(nèi)涵揭示了這種方法背后有著豐富的數(shù)學(xué)思想,數(shù)學(xué)歸納法提供的“觀察——?dú)w納——猜想——證明”的思維模式?jīng)Q定了它本身就是一種數(shù)學(xué)思想方法。將數(shù)學(xué)歸納法僅僅看作一種推理方法,由于它的步驟的固定的、形式化的,容易使課堂教學(xué)變成接受的、靜態(tài)的學(xué)習(xí)環(huán)境;而抓住這種思維模式的邏輯結(jié)構(gòu),從思想方法的角度去認(rèn)識(shí)、探索數(shù)學(xué)歸納法,才能將“數(shù)學(xué)歸納法”這一高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)形態(tài)有效地轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂杏H和力的教育形態(tài),才能使教學(xué)變?yōu)閯?dòng)態(tài)的生成。同時(shí)在數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)下進(jìn)行信息檢索獲得的數(shù)學(xué)概念、方法,是一種概念內(nèi)化的學(xué)習(xí)方式,這對(duì)改善學(xué)生的認(rèn)知方式有極大的好處。

      “理解數(shù)學(xué),理解學(xué)生,理解教學(xué)”是開(kāi)展概念教學(xué)研究的基礎(chǔ),教學(xué)設(shè)計(jì)中,以系統(tǒng)的觀點(diǎn)整合這三個(gè)維度,將會(huì)使教學(xué)預(yù)設(shè)有效地轉(zhuǎn)化為自然、和諧的課堂生成。

    “數(shù)學(xué)歸納法”教學(xué)反思3

      數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容,也是一種重要的數(shù)學(xué)方法,數(shù)學(xué)歸納法這一方法,貫通了高中數(shù)學(xué)的幾大知識(shí)點(diǎn):不等式,數(shù)列,三角函數(shù),平面幾何等。通過(guò)對(duì)它的學(xué)習(xí),能起到以下幾方面的作用:提高學(xué)生的邏輯思維、推理能力;培養(yǎng)學(xué)生辯證思維素質(zhì),全面提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力;培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索的創(chuàng)新精神,提高學(xué)生綜合素質(zhì)。 對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué),我主要從以下幾個(gè)方面進(jìn)行設(shè)計(jì):

      (1)為什么要使用數(shù)學(xué)歸納法?

      (2)什么是數(shù)學(xué)歸納法?

      (3)什么時(shí)候使用數(shù)學(xué)歸納法?

      (4)怎樣正確使用數(shù)學(xué)歸納法?

      根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際水平,我采用的是引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法和感性體驗(yàn)法進(jìn)行教學(xué)。

      先是給出求數(shù)列通項(xiàng)的'一個(gè)題目,學(xué)生自主完成,結(jié)果幾乎都是用不完全歸納法得出結(jié)論的,于是引出完全歸納法和不完全歸納法這兩個(gè)概念,為了說(shuō)明兩種歸納法的可靠程度,我通過(guò)一個(gè)盒子中的粉筆(白色和彩色)、筆蓋等的判斷和回憶等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo),又通過(guò)多米諾骨牌游戲的實(shí)際操作促進(jìn)學(xué)生對(duì) “遞推關(guān)系” 的理解,為數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用前提和場(chǎng)合提供形象化的參照物。

      通過(guò)生活事例和數(shù)學(xué)問(wèn)題的比較,引導(dǎo)學(xué)生討論,促使學(xué)生主動(dòng)思維。

      通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)也使學(xué)生掌握遞推原理,提高學(xué)生的邏輯思維和推理能力。

      本節(jié)課的結(jié)構(gòu)可以,對(duì)學(xué)生的學(xué)法指導(dǎo)不錯(cuò),讓學(xué)生清楚學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的用途,指明了方向,總體來(lái)說(shuō),學(xué)生接受的程度不錯(cuò)。不足之處是引入的時(shí)間把握不好,影響了后續(xù)的教學(xué),沒(méi)有能按計(jì)劃完成教學(xué)任務(wù)。

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